Что показывает симуляция
Шесть типовых задач стереометрии на кубе, пирамиде и призме: построение, вычисление и вывод по шагам.
Прямые A₁B и B₁C скрещиваются. Угол между ними находят параллельным переносом: A₁D ∥ B₁C, значит искомый угол равен ∠BA₁D. Стороны треугольника A₁BD — диагонали граней куба, все равны a√2 = 5,66; треугольник равносторонний, поэтому φ = 60°.
Другие режимы
- Пирамида. Прямые SA и BC скрещиваются. Угол между ними находят параллельным переносом: AD ∥ BC, значит искомый угол равен ∠SAD. В равнобедренном треугольнике SAD (SA = SD = 5,74) высота из S делит AD пополам: cos φ = (AD : 2) / SA = 2 / 5,74 = 0,348, φ = 69,63°.
- Призма. Прямые A₁B и CC₁ скрещиваются. Угол между ними находят параллельным переносом: BB₁ ∥ CC₁, значит искомый угол равен ∠A₁BB₁. В прямоугольном треугольнике A₁B₁B: tg φ = A₁B₁ / BB₁ = 4 / 5 = 0,8, φ = 38,66°.
- Прямая и плоскость. Угол между прямой A₁C и плоскостью (ABC). AA₁ ⟂ (ABC) — боковое ребро куба, поэтому AC — проекция наклонной A₁C. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией, ∠A₁CA: tg φ = AA₁ / AC = 4 / 5,66 = 0,707, φ = 35,26°.
- Двугранный угол. Двугранный угол при ребре BD между плоскостями (A₁BD) и (ABC). AO ⟂ BD (диагонали квадрата перпендикулярны), а A₁O ⟂ BD по теореме о трёх перпендикулярах, значит ∠A₁OA — линейный угол двугранного: tg φ = AA₁ / AO = 4 / 2,83 = 1,414, φ = 54,74°.
- От точки до плоскости. Расстояние от точки A до плоскости (A₁BD) — длина перпендикуляра AH. Прямая BD перпендикулярна AO и AA₁, значит BD ⟂ (AA₁O); поэтому высота AH треугольника AA₁O перпендикулярна и A₁O, и BD, то есть всей плоскости. AH = AA₁·AO / A₁O = 4·2,83 / 4,9 = 2,31.
- Между прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми AA₁ и BD — длина их общего перпендикуляра. AO ⟂ AA₁, так как AA₁ ⟂ (ABC), и AO ⟂ BD (диагонали квадрата перпендикулярны). Значит, ρ = AO = 2,83.
- Три перпендикуляра. Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной. AA₁ ⟂ (ABC), A₁O — наклонная, AO — её проекция, AO ⟂ BD; следовательно, A₁O ⟂ BD (по координатам угол 90°). A₁O = √(4² + 2,83²) = 4,9 — расстояние от точки A₁ до прямой BD.