Объёмы: принцип Кавальери и «одна треть»

Что показывает симуляция

Пять опытов: сдвинутая стопка, куб из трёх пирамид, конус и цилиндр, шар Архимеда и подобие тел.

Принцип Кавальери. Стопку из 12 слоёв сдвинули вбок: площадь каждого слоя (розовый — на высоте 2,5) осталась S = 9, высота та же, значит объём не изменился: V = S·h = 9·5 = 45. Чем тоньше слои, тем ближе правая стопка к наклонной призме: объём равен S·h, где h — высота, а не боковое ребро (оно длиннее: 5,59).

Другие режимы

• Куб = 3 пирамиды. Куб с ребром a = 4 разрезан на три равные пирамиды с общей вершиной A₁. Основание каждой — грань куба, не содержащая A₁, а высота равна ребру. Поэтому V_{пирамиды} = a³ / 3 = ⅓·a²·a = ⅓·S_осн·h = 64 / 3 = 21,33. По принципу Кавальери то же верно для любой пирамиды с такими же основанием и высотой.
• Конус → цилиндр. У конуса и цилиндра равные основания и высоты (r = 1,6, h = 4). Воду из полного конуса переливают в цилиндр — уровень каждый раз поднимается ровно на треть высоты. Нужно три конуса, чтобы заполнить цилиндр: V_конуса = ⅓·V_{цилиндра} = ⅓πr²h = ⅓·32,17 = 10,72.
• Шар и цилиндр. На высоте z = 1,2 сечение полушара — круг радиуса √(R² − z²), его площадь π(R² − z²) = 13,57. Сечение цилиндра с вырезанным конусом — кольцо: πR² − πz² = 13,57. Площади равны на любой высоте, значит по принципу Кавальери V_{полушара} = V_цил − V_кон = πR³ − ⅓πR³ = ⅔πR³. Поэтому V_шара = ⁴⁄₃·πR³ = 57,91 — это ⅔ объёма описанного цилиндра 2πR³ = 86,86 (Архимед).
• Подобие: k, k², k³. Все размеры куба увеличили в k = 3 раза. Ребро: 1 → 3 (×k). Площадь поверхности: 6 → 6·3² = 54 (×k² = 9). Объём: в большом кубе 3·3·3 = 27 единичных кубиков (×k³ = 27). Для любых подобных тел площади относятся как k², а объёмы — как k³.
• Цилиндр. Принцип Кавальери. Стопку из 12 слоёв сдвинули вбок: площадь каждого слоя (розовый — на высоте 2,5) осталась S = 8,04, высота та же, значит объём не изменился: V = S·h = 8,04·5 = 40,21. Чем тоньше слои, тем ближе правая стопка к наклонному цилиндру: объём равен S·h, где h — высота, а не боковое ребро (оно длиннее: 5,59).

Что можно менять

Слоёв, сдвиг, высота сечения, раздвинуть, высота сечения z.