Что показывает симуляция
Тяните точку по графику и уменьшайте Δx: секущая превращается в касательную, а её наклон — в производную.
Секущая через точки с абсциссами x₀ = 1,2 и x₀ + Δx = 2,2: k = Δy/Δx = (4,84 − 1,44)/1 = 3,4. При Δx → 0 секущая поворачивается к касательной, а её угловой коэффициент стремится к производной: k = tg α = f′(x₀) = 2·1,2 = 2,4, α ≈ 67,4°. f′(x₀) > 0 — в этой точке функция возрастает, угол α острый.
Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) = 1,44 + 2,4·(x − 1,2), то есть y = 2,4x − 1,44.
Другие режимы
- Скорость машины. За время от t₀ = 2 с до t₀ + Δt = 3 с машина проехала Δx = 3,6 − 1,6 = 2 м; средняя скорость vср = Δx/Δt = 2 м/с — наклон секущей.
При Δt → 0 она стремится к мгновенной скорости — производной координаты: v(t₀) = x′(t₀) = 0,8·2 = 1,6 м/с. Чем круче график x(t), тем больше скорость. - x³ − 3x. Секущая через точки с абсциссами x₀ = 1,2 и x₀ + Δx = 2,2: k = Δy/Δx = (4,048 + 1,872)/1 = 5,92. При Δx → 0 секущая поворачивается к касательной, а её угловой коэффициент стремится к производной: k = tg α = f′(x₀) = 3·1,2² − 3 = 1,32, α ≈ 52,9°. f′(x₀) > 0 — в этой точке функция возрастает, угол α острый.
Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) = −1,872 + 1,32·(x − 1,2), то есть y = 1,32x − 3,456. - sin x. Секущая через точки с абсциссами x₀ = 1,2 и x₀ + Δx = 2,2: k = Δy/Δx = (0,808 − 0,932)/1 ≈ −0,124. При Δx → 0 секущая поворачивается к касательной, а её угловой коэффициент стремится к производной: k = tg α = f′(x₀) = cos 1,2 ≈ 0,362, α ≈ 19,9°. f′(x₀) > 0 — в этой точке функция возрастает, угол α острый.
Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) = 0,932 + 0,362·(x − 1,2), то есть y ≈ 0,362x + 0,497. - eˣ. Секущая через точки с абсциссами x₀ = 0,5 и x₀ + Δx = 1,5: k = Δy/Δx = (4,482 − 1,649)/1 ≈ 2,833. При Δx → 0 секущая поворачивается к касательной, а её угловой коэффициент стремится к производной: k = tg α = f′(x₀) = e0,5 ≈ 1,649, α ≈ 58,8°. f′(x₀) > 0 — в этой точке функция возрастает, угол α острый.
Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) = 1,649 + 1,649·(x − 0,5), то есть y ≈ 1,649x + 0,824. - 1/x. Секущая через точки с абсциссами x₀ = 1 и x₀ + Δx = 2: k = Δy/Δx = (0,5 − 1)/1 = −0,5. При Δx → 0 секущая поворачивается к касательной, а её угловой коэффициент стремится к производной: k = tg α = f′(x₀) = −1/1² = −1, α ≈ 135°. f′(x₀) < 0 — в этой точке функция убывает, угол α тупой.
Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) = 1 − 1·(x − 1), то есть y = −x + 2. - √x. Секущая через точки с абсциссами x₀ = 2 и x₀ + Δx = 3: k = Δy/Δx = (1,732 − 1,414)/1 ≈ 0,318. При Δx → 0 секущая поворачивается к касательной, а её угловой коэффициент стремится к производной: k = tg α = f′(x₀) = 1/(2·√2) ≈ 0,354, α ≈ 19,5°. f′(x₀) > 0 — в этой точке функция возрастает, угол α острый.
Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) = 1,414 + 0,354·(x − 2), то есть y ≈ 0,354x + 0,707.