Что показывает симуляция
Двигайте пределы интегрирования: суммы площадей полосок сходятся к точному значению по формуле Ньютона — Лейбница.
Формула Ньютона — Лейбница: ∫02 x² dx = F(b) − F(a), где F(x) = x³/3 — первообразная, F′(x) = f(x). Подставляем: F(2) − F(0) = 2³/3 − 0³/3 = 8/3 ≈ 2,667.
Сумма площадей 6 полосок (средние прямоугольники) равна 2,6481. Чем больше n, тем уже полоски и точнее сумма: интеграл — её предел при n → ∞.
Другие режимы
- Между графиками. Точки пересечения: x² = x + 2 ⇔ x² − x − 2 = 0, D = 9, откуда x₁ = −1, x₂ = 2.
Между ними график y = x + 2 лежит выше, поэтому площадь — интеграл от разности «верхняя минус нижняя»: S = ∫x₁x₂ ((x + 2) − x²) dx = G(x₂) − G(x₁), где G(x) = 0,5x² + 2x − x³/3. S = 9/2 = 4,5. Тяните синюю точку или двигайте ползунки k и m. - Функция S(x). S(x) = ∫0x f(t) dt — площадь (со знаком) под графиком от a до x; по формуле Ньютона — Лейбница S(x) = F(x) − F(a), F(x) = x³/3.
Сдвиньте x чуть вправо: площадь прирастёт узкой полоской высотой f(x), ΔS ≈ f(x)·Δx. Значит, S′(x) = f(x) — наклон нижнего графика равен высоте верхнего. Сейчас f(x) > 0 — площадь растёт. - x³ − 3x. Формула Ньютона — Лейбница: ∫02 (x³ − 3x) dx = F(b) − F(a), где F(x) = x⁴/4 − 3x²/2 — первообразная, F′(x) = f(x). Подставляем: F(2) − F(0) = 2⁴/4 − 3·2²/2 − 0⁴/4 − 3·0²/2 = −2.
Сумма площадей 6 полосок (средние прямоугольники) равна −2,0556. Чем больше n, тем уже полоски и точнее сумма: интеграл — её предел при n → ∞.
Там, где график ниже оси Ox, площадь входит в интеграл со знаком «−»: интеграл = 0,25 − 2,25 = −2, а площадь фигуры = 0,25 + 2,25 = 2,5. - sin x. Формула Ньютона — Лейбница: ∫0π sin x dx = F(b) − F(a), где F(x) = −cos x — первообразная, F′(x) = f(x). Подставляем: F(π) − F(0) = −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.
Сумма площадей 6 полосок (средние прямоугольники) равна 2,023. Чем больше n, тем уже полоски и точнее сумма: интеграл — её предел при n → ∞. - eˣ. Формула Ньютона — Лейбница: ∫01 eˣ dx = F(b) − F(a), где F(x) = eˣ — первообразная, F′(x) = f(x). Подставляем: F(1) − F(0) = e1 − e0 ≈ 2,718 − 1 ≈ 1,718.
Сумма площадей 6 полосок (средние прямоугольники) равна 1,7163. Чем больше n, тем уже полоски и точнее сумма: интеграл — её предел при n → ∞. - 1/x. Формула Ньютона — Лейбница: ∫14 1/x dx = F(b) − F(a), где F(x) = ln x — первообразная, F′(x) = f(x). Подставляем: F(4) − F(1) = ln 4 − ln 1 ≈ 1,386 + 0 ≈ 1,386.
Сумма площадей 6 полосок (средние прямоугольники) равна 1,3769. Чем больше n, тем уже полоски и точнее сумма: интеграл — её предел при n → ∞. - √x. Формула Ньютона — Лейбница: ∫04 √x dx = F(b) − F(a), где F(x) = 2x√x/3 — первообразная, F′(x) = f(x). Подставляем: F(4) − F(0) = 2·4·√4/3 − 2·0·√0/3 ≈ 5,333 + 0 ≈ 5,333.
Сумма площадей 6 полосок (средние прямоугольники) равна 5,3618. Чем больше n, тем уже полоски и точнее сумма: интеграл — её предел при n → ∞.