Что показывает симуляция
Знаки производной показывают, где функция растёт и убывает, где у неё максимум и минимум и чему равны наибольшее и наименьшее значения на отрезке.
f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3; f′(x) = 0 при x = −1 и x = 1. Вывод: x = −1 — точка максимума (знак f′ меняется с «+» на «−»); x = 1 — точка минимума (с «−» на «+»). Функция возрастает на (−∞; −1] и на [1; +∞), убывает на [−1; 1].
На отрезке [−2; 2] сравниваем значения на концах и в критических точках внутри: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(2) = 2. Наибольшее — 2, наименьшее — −2.
Другие режимы
- По графику производной. Вопрос 1 из 3. На рисунке — график производной y = f′(x) функции f(x), определённой на интервале (−5; 5). Сколько точек экстремума у функции f(x)? Выберите число на панели.
- x³. f(x) = x³, f′(x) = 3x²; f′(x) = 0 при x = 0. Вывод: в точке x = 0 производная знак не меняет — экстремума нет. Функция возрастает на (−∞; +∞).
На отрезке [−1; 1,5] сравниваем значения на концах и в критических точках внутри: f(−1) = −1, f(0) = 0, f(1,5) = 3,375. Наибольшее — 3,375, наименьшее — −1. - −x³ + 3x². f(x) = −x³ + 3x², f′(x) = −3x² + 6x; f′(x) = 0 при x = 0 и x = 2. Вывод: x = 0 — точка минимума (с «−» на «+»); x = 2 — точка максимума (знак f′ меняется с «+» на «−»). Функция возрастает на [0; 2], убывает на (−∞; 0] и на [2; +∞).
На отрезке [−1; 3] сравниваем значения на концах и в критических точках внутри: f(−1) = 4, f(0) = 0, f(2) = 4, f(3) = 0. Наибольшее — 4, наименьшее — 0. - x⁴ − 2x². f(x) = x⁴ − 2x², f′(x) = 4x³ − 4x; f′(x) = 0 при x = −1, x = 0 и x = 1. Вывод: x = −1 — точка минимума (с «−» на «+»); x = 0 — точка максимума (знак f′ меняется с «+» на «−»); x = 1 — точка минимума (с «−» на «+»). Функция возрастает на [−1; 0] и на [1; +∞), убывает на (−∞; −1] и на [0; 1].
На отрезке [−0,5; 1,5] сравниваем значения на концах и в критических точках внутри: f(−0,5) = −0,4375, f(0) = 0, f(1) = −1, f(1,5) = 0,5625. Наибольшее — 0,5625, наименьшее — −1. - x + 4/x. f(x) = x + 4/x, f′(x) = 1 − 4/x²; f′(x) = 0 при x = −2 и x = 2. Вывод: x = −2 — точка максимума (знак f′ меняется с «+» на «−»); x = 0 — точка разрыва, в ней функция не определена; x = 2 — точка минимума (с «−» на «+»). Функция возрастает на (−∞; −2] и на [2; +∞), убывает на [−2; 0) и на (0; 2].
На отрезке [1; 4] сравниваем значения на концах и в критических точках внутри: f(1) = 5, f(2) = 4, f(4) = 5. Наибольшее — 5, наименьшее — 4.