Показательная и логарифмическая функции

Что показывает симуляция

Графики y = aˣ и y = logₐx как зеркальные отражения, свойства логарифмов на отрезках и показательный рост: вклад и радиоактивный распад.

2³ = 8 — то же самое, что log₂ 8 = 3: логарифм — это показатель степени. «В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8?» — в степень 3. Поэтому точки (3; 8) и (8; 3) меняются координатами, а графики симметричны относительно прямой y = x.
Основание a = 2 > 1: обе функции возрастают. y = a^x: D = (−∞; +∞), E = (0; +∞), асимптота y = 0, проходит через (0; 1) и (1; 2). y = log_a x: D = (0; +∞), E = (−∞; +∞), асимптота x = 0, проходит через (1; 0) и (2; 1).

Другие режимы

• Свойства логарифмов. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: log₂ (bc) = log₂ b + log₂ c. Здесь log₂ 32 = 3 + 2 = 5.
  Почему: логарифм — это показатель степени (b = 2^{log₂ b}), а при умножении степеней с одним основанием показатели складываются — на рисунке отрезки приставлены друг к другу. Условия: a > 0, a ≠ 1, числа под знаком логарифма положительны.
• Рост и распад. Сложные проценты: каждый год вклад умножается на 1 + 8/100 = 1,08, поэтому S(t) = S₀·1,08^t — показательная функция (S₀ = 100 тыс. ₽). Через 10 лет: 100·1,08¹⁰ ≈ 215,9 тыс. ₽; простые проценты дали бы 180 тыс. ₽.
  Время удвоения находят логарифмом: 1,08^t = 2 ⇒ t = log_1,08 2 = ln 2 : ln 1,08 ≈ 9 лет. Оно не зависит от суммы: за каждые 9 лет вклад удваивается снова — ×2, ×4, ×8.